“Ecuaciones de Física Matemática” - curso 2800 rublos. de MSU, entrenando 15 semanas. (4 meses), Fecha: 30 de noviembre de 2023.
Miscelánea / / December 02, 2023
El curso está dirigido a licenciados, maestrías y especialistas en disciplinas matemáticas, ingenierías o ciencias naturales, así como a docentes universitarios. El propósito del curso es presentar al estudiante una variedad de temas clásicos en el campo de las ecuaciones con física matemática y enseñarle los métodos básicos para estudiar dichas ecuaciones. El curso cubre material clásico sobre las ecuaciones de la física matemática (ecuaciones diferenciales parciales) dentro de un semestre de estudio. Las secciones “Ecuaciones lineales y cuasilineales de primer orden”, “Clasificación de ecuaciones lineales”, “Ecuación de onda”, "Ecuación parabólica", "Soluciones fundamentales", "Ecuación de Laplace". Nos familiarizaremos con las formulaciones clásicas de problemas: el problema de Cauchy, problema de límites. Dominemos los métodos básicos para estudiar ecuaciones: integración directa, el método de continuación de soluciones, el método de Fourier, el método de soluciones fundamentales, el método de potenciales. A menudo recordaremos la derivación de estas ecuaciones en problemas de física matemática y los límites de aplicabilidad de nuestros modelos.
forma de estudio
Cursos por correspondencia que utilizan tecnologías de aprendizaje a distancia.
Requisitos de admisión
Disponibilidad de VO o SPO
2
cursoDoctor en Ciencias Físicas y Matemáticas, Puesto de Profesor: Profesor del Departamento de Matemáticas Fundamentales y Aplicadas, Facultad de Investigación Espacial, Universidad Estatal de Moscú que lleva el nombre de M.V. Lomonosov
1. Primera cita.
Palabra introductoria. Principios básicos del trabajo con ecuaciones de física matemática. Ejemplos de ecuaciones simples. Clasificación. Resolver ecuaciones simples reduciéndolas a ecuaciones diferenciales ordinarias. Reemplazo de variables en una ecuación.
2. Ecuaciones de primer orden: lineales y cuasilineales.
Ecuaciones lineales. Encontrar un reemplazo adecuado: compilar y resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Primeras integrales del sistema. Características. Ecuaciones cuasilineales. Encontrar una solución de forma implícita.
3. Problema de Cauchy. Clasificación de ecuaciones lineales de segundo orden.
Planteamiento del problema de Cauchy. Teorema sobre la existencia y unicidad de una solución al problema de Cauchy. Clasificación de ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Reducción a forma canónica.
4. Ecuaciones hiperbólicas, parabólicas y elípticas.
Clasificación de ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables en el plano. Tipo hiperbólico, parabólico y elíptico. Resolver ecuaciones hiperbólicas. Problemas con las condiciones iniciales y de contorno.
5. Ecuación de cuerdas.
Ecuación de onda unidimensional en todo el eje. Onda hacia adelante y hacia atrás. La fórmula de d'Alembert. Integral de Duhamel. Condiciones de frontera para la ecuación en el semieje. Tipos básicos de condiciones de contorno. Continuación de la solución. El caso de un segmento finito.
6. Método de Fourier usando la ecuación de cuerdas como ejemplo.
La idea del método de Fourier. El primer paso es encontrar una base. El segundo paso es obtener ecuaciones diferenciales ordinarias para los coeficientes de Fourier. El tercer paso es tener en cuenta los datos iniciales. Convergencia de series.
7. Ecuación de difusión (segmento finito).
Derivación de la ecuación. Planteamiento de problemas (condiciones iniciales y de contorno). Método de Fourier. Teniendo en cuenta el lado derecho y la falta de homogeneidad en las condiciones de contorno. Convergencia de series.
8. Ecuación de difusión (eje entero).
Transformada de Fourier, fórmula de inversión. Resolviendo la ecuación usando la transformada de Fourier. Teorema – justificación del método (dos casos). La fórmula de Poisson. El caso de una ecuación con el lado derecho.
9. Funciones generalizadas.
Escribir la fórmula de Poisson como una convolución. Grabación en forma de convolución de la solución de la ecuación de calor en un segmento finito. Clase Schwartz. Ejemplos de funciones de la clase. Definición de funciones generalizadas, conexión con funciones clásicas. Multiplicación de una función generalizada por una función básica, diferenciación. Convergencia de funciones generalizadas. Ejemplos de funciones genéricas.
10. Trabajar con funciones genéricas.
Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias en funciones generalizadas. Transformada de Fourier de funciones generalizadas. Circunvolución. Producto directo. El portador de una función generalizada. Resolver la ecuación del calor unidimensional no homogénea utilizando la solución fundamental. Solución fundamental de un operador diferencial ordinario en un intervalo.
11. Soluciones fundamentales.
Derivación de la fórmula de Poisson para la ecuación del calor multidimensional. Derivación de la fórmula de Kirkhoff. Derivación de la fórmula de Poisson para la ecuación de onda. Resolución de problemas utilizando el método de separación de variables, el método de superposición.
12. La ecuación de Laplace.
Derivación de la ecuación de Laplace. Campo vectorial: potencial, flujo a través de una superficie. Potencial de volumen. Potencial de capa simple. Potencial de doble capa. Potencial logarítmico.
13. Problema de Dirichlet, problema de Neumann y función de Green.
Funciones armónicas. Principio del extremo débil. Teorema de Harnack. Principio de máxima estricta. Teorema de unicidad. Teorema del valor medio. Suavidad infinita. Teorema de Liouville. La fórmula de Green. La función del verde, sus propiedades. Solución del problema de Poisson con condiciones de Dirichlet utilizando la función de Green. Otros problemas de valores en la frontera. Construcción de la función de Green por el método de la reflexión.
14.Método de Fourier multidimensional.
Resolución de problemas mediante el método de Fourier. Varias condiciones de contorno. Funciones de Bessel. Polinomio de Legendre. Revisión del curso completado. Resumiendo.